|
Решение задач олимпиады лицея "Технический"
|
|
| Tanchek | Дата: Четверг, 17.11.2011, 23:14 | Сообщение # 1 |
 Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| 10 класс 2011г
Задача 1 (Олимпиада СамГУ, 2007)
На одном конце доски длиной L, неподвижно лежащей на горизонтальном полу, сидит маленький лягушонок. Лягушонок прыгает с такой минимальной относительно доски скоростью, что попадает точно на другой ее конец. Под каким углом α к горизонту направлена при этом скорость лягушонка относительно пола сразу после отрыва от доски? Массы лягушонка и доски равны m и M. Силами сопротивления движению лягушонка и доски пренебречь.
Решение
Будем считать, что пол неподвижен относительно Земли. Связанную с Землей систему отсчета будем считать инерциальной. Учитывая отсутствие трения, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что скорость лягушонка υ0 относительно доски в момент его отрыва от доски должна удовлетворять соотношению: (υ[size=7]0 cosα – u)m = uM, где α-угол между вектором скорости υ0 и доской, а u-модуль скорости доски относительно пола после прыжка лягушонка. Так как после отрыва от доски лягушонок совершает свободное падение, т.е. движется с ускорением свободного падения g, время его полета t=2 υ0 sinα/g. В момент касания лягушонком доски он должен попасть на ее край, т.е. должно быть справедливо соотношение: (υ0cosα–u)t=L-ut. Из двух последних соотношений следует, что υ0=√gL/sin2α. По условию задачи скорость лягушонка должна быть минимальной, следовательно α=45°. Учитывая, что искомый угол α удовлетворяет условию tg α = υ0 sinα/(υ0 cosα – u), из полученных выше соотношений получаем
tg α =(1+m/M) tg α. Т.о. α =arctg(1+m/M)
Ответ: α =arctg(1+m/M)</span>
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 17.11.2011, 23:18 | Сообщение # 2 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 2. Белгород, 2007г
Молодые люди решили на Новый год угостить своих друзей коктейлем со льдом и 31 декабря в 23.00 поставили ванночку с водой в морозильник. Через t1 = 15 мин они заглянули в морозильник и обнаружили, что за это время температура воды понизилась с 16ºС до 4ºС. Успеет ли замерзнуть вся вода до наступления Нового года? Когда же будет готов лед? Удельная теплоемкость воды c = 4,2•103 Дж/(кг•ºС), удельная теплота плавления льда λ = 0,335 MДж/кг.
Решение
Для охлаждения воды на ΔT1 = 16ºС - 4ºС =12ºС от нее было отведено количество
тепла, равное Q1 = сmΔT1. Будем считать, что морозильник работает непрерывно и
скорость отвода тепла в нем постоянна. По условиям задачи известно время охлаждения
воды, поэтому можно рассчитать скорость теплоотвода: q = Q1/ t1= сmΔT1/ t1.
Тогда время t2, необходимое для дальнейшего охлаждения воды от 4ºС до 0ºС, т.е. на
ΔT2 = 4ºС, будет равно t2 = Q2/q = сmΔT2t1 / сmΔT1 = t1ΔT2/ ΔT1. Подставив численные
значения, получим t2 = 5 мин, а время t3 необходимое для превращения в лед всей воды,
находящейся при 0ºС, составит t3 = Q3/q = mλ t1/ сmΔT1 = λ t1/ сΔT1. После подстановки численных значений t3 =100мин. Таким образом, время необходимое для приготовления льда, от момента постановки воды в морозильник до ее полного замерзания составит t = t1 + t2 + t3 = 120 мин = 2 ч.
Ответ: Вода не успеет замерзнуть к Новому году, а замерзнет 1 января в 1час 00 мин.
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 17.11.2011, 23:20 | Сообщение # 3 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 3 Школьный тур олимпиады (Юго-Западный округ)2009г
Идеальный одноатомный газ перевели из состояния с давлением p1=204кПа и объемом V=90л в состояние с давлением p2=170кПа и объемом V2=108л. Определите изменение внутренней энергии газа в этом процессе.
Решение
Внутренняя энергия газа в начале процесса U1=3νRT1/2, в его конце – U2=3νRT2/2, где ν– его количество, R – молярная газовая постоянная, T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа. С учетом уравнений газового состояния p1V1=νRT1 и p2V2=νRT2. Искомая величина ∆U=3(p1V1-p2V2)/2.
Выполнив арифметические расчеты, получим ∆U=0.
Задачу можно решить иначе. Если заметить, что p1V1=p2V2, то из уравнения Менделеева – Клапейрона будет следовать, что температура T1=T2, а значит и внутренняя энергия U1=U2. Поэтому ее изменение равно нулю.
Ответ: ∆U=0
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 17.11.2011, 23:24 | Сообщение # 4 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 4. Санкт-Петербург, районный тур, 2005 год.
Пустотелый металлический шар имеет радиус r = 20 см и толщину стенок d = 1 мм. Он изготовлен из алюминия, за исключением полоски на "экваторе" шириной a = 3 мм, которая выполнена из стали. Когда на "полюса" шара было подано напряжение U = 0,1 мВ, через него пошел ток I = 3,86 А. Опыт повторили с другим шаром, у которого вместо стальной полоски была медная. Какой ток пойдет через этот шар? Удельное сопротивление стали с = 0,15 Ом•мм2/м, меди м = 0,02 Ом•мм2/м.
Решение
Представим шар как последовательное соединение трех резисторов: верхнего полушария (медного), полоски (алюминиевой) и нижнего полушария (тоже медного). Сопротивление шара R = U/I = 1.95•10-5 Ом есть сумма сопротивлений всех трех частей: R = Rв + Rп + Rн. Рассчитаем сопротивление полоски. Ее сечение - кольцо радиусом r = 10 см и толщиной d = 1 мм. Его площадь равна S = 2пrd = 628 мм2. Поэтому сопротивление полоски Rп = рAla/S = 9.55•10-8 Ом. У железной полоски таких же размеров сопротивление
R'п = рFea/S =3,18•10-7 Ом. При замене алюминиевой полоски на железную сопротивление шара увеличится на величину R'п - Rп и станет равно R' = R + R'п - Rп = 1,98•10-5 Ом. Через шар пойдет ток
I' = U/R' = U/[U/I+(pFe-pAla/2пrd)]= 5,06 A.
Ответ: Ток через шар станет равен 5,06 А.
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 17.11.2011, 23:32 | Сообщение # 5 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 5. Олимпиада СамГУ, 2008
К батарейке подключают последовательно соединенные амперметр и вольтметр – приборы при этом показывают 1 мА и 9 В, соответственно. Подключаем параллельно первому вольтметру еще один вольтметр – показания первого из вольтметров практически не изменились, а амперметр показывает теперь 3 мА. Что покажут приборы, если соединить их все три последовательно и подключить к той же батарейке?
Решение
Когда к батарейке подключают последовательно соединенные амперметр и вольтметр, то из закона Ома для участка цепи сопротивление вольтметра равно RV1=9кОм. Закон Ома для полной цепи примет вид:
I1=ε/(r+RA+RV1) (1)
Если параллельно первому вольтметру подключить еще один вольтметр, то его сопротивление из закона Ома для участка цепи оказывается равным RV2=4,5кОм.
Закон Ома для полной цепи примет вид:
I2=ε/(r+RA+R), (2)
где R - общее сопротивление двух параллельно соединенных вольтметров. Если все три прибора соединить последовательно и подключить к той же батарейке, то закон Ома примет вид:
I3=ε/(r+RA+RV1+RV2) (3)
Напряжение на вольтметрах станет равным соответственно
UV1=I3RV1
UV2=I3RV2
Решая уравнения (1)-(3), заменив (r+ RA)=х, получим ε=9В, I3≈0,7мА, UV1=6В, UV2=3В
Ответ: I3≈0,7мА, UV1=6В, UV2=3В
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 08.12.2011, 17:58 | Сообщение # 6 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| 11 класс
задача 1
Двое рабочих должны выкопать цилиндрический колодец глубиной H = 2 м. До какой глубины h следует копать первому рабочему, чтобы работа оказалась распределенной поровну? Считайте, что грунт однородный и что рабочие поднимают его до поверхности Земли.
Решение
Решение: При рытье колодца глубиной x работа по выемке грунта на поверхность Земли равна изменению потенциальной энергии этого грунта: А=mgx/2. Здесь мы учитываем, что центр тяжести грунта изначально находится на расстоянии x/2 от поверхности Земли. Масса грунта m определяется его объемом и плотностью: m=rSx , где S – площадь поперечного сечения колодца, r – плотность грунта. Следовательно, A=rSx²/2 (1)
Обратим внимание на то, что величина работы пропорциональна квадрату глубины колодца. Обозначим A1 работу первого рабочего, а A – полную работу по выкапыванию колодца глубиной H. По условию
A1/A=1/2.
Учитывая соотношение (1), получим h²/H²=1/2; H/√2=√2≈1,41м.
Ответ: 1,41м
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 08.12.2011, 18:09 | Сообщение # 7 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 2.
Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?
Решение
Сила упругости пружины F = kx. Если к пружине подвесить груз массой m, то в положении равновесия mg = kx, откуда удлинение пружины x = mg/k . Если две пружины соединить последовательно, то их удлинения будут равны, а общее удлинение
x2 = 2x =2 mg/k . (1)
С другой стороны, x2 = mg/k1. (2)
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем 2 mg/k = mg/k1 или k1 = k/2.
При параллельном соединении пружин общая жесткость системы k2 = 2k. Таким образом, периоды колебаний при последовательном и параллельном соединениях пружин равны соответственно T1 = 2π√m/k1 и T2 = 2π√m/k2,
а их отношение T1/T2=√k2/k1= 2.
Ответ: период колебаний груза уменьшится в 2 раза.
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 08.12.2011, 18:17 | Сообщение # 8 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 3.
Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд с теплопроводящими стенками, заполненный аргоном плотностью 1,7кг/м³, закрыт подвижным поршнем и находится в комнате. Площадь поршня равна 400см², расстояние от левого края цилиндра до поршня равно h=50 см. В сосуде ко дну на нити прикреплен шар объемом V=1000см³, сделанный из тонкого нерастяжимого и теплопроводящего материала и заполненный гелием; масса шара с гелием равна m=1,2г. После того, как протопили печь, и воздух в комнате прогрелся, поршень переместился вправо на расстояние ∆h=3см. Найдите изменение ΔN силы натяжения нити, удерживающей шар. Ускорение свободного падения g=10 м/c².
Решение
На шар с гелием действуют три силы – сила тяжести, сила натяжения нити и архимедова сила. И первом и во втором случае шар находится в равновесии под действием этих сил.
В первом случае сила натяжения нити Ν1 = gρVш – mg.
Во втором случае, когда протопили печь, и поршень переместился, сила натяжения нити стала Ν2 = gρ'Vш – mg, где ρ' – плотность аргона после перемещения поршня.
Известная из условия плотность аргона в первом случае, позволяет определить массу аргона под поршнем: ρ = mа /(Sh – Vш), где mа – масса аргона в цилиндрическом сосуде. Откуда mа = ρ(Sh – Vш),
Аналогично определяем плотность аргона во втором случае ρ' = mа /(S(h + Δh) – Vш). Так как шар сделан из нерастяжимого материала, то его объем не изменяется.
Учитывая выражение для массы аргона, получаем: ρ' = ρ(Sh – Vш)/(S(h + Δh) – Vш).
Тогда изменение силы натяжения нити, удерживающей шар,
ΔΝ = Ν2 - Ν1 = – gρVш S Δh /(S(h + Δh) – Vш) ≈ – 1,0 ∙ 10–3 Н. Знак «–» означает, что сила натяжения уменьшается.
Ответ: сила натяжения уменьшается на 1 мН.
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 08.12.2011, 18:38 | Сообщение # 9 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 4.
Два одинаковых маленьких проводящих шарика подвешены на непроводящих нитях в одной точке. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии 5 см друг от друга. На каком расстоянии они будут находиться, если один из шариков разрядить? Длины нитей много больше расстояния между шариками.
Решение
После того, как один из шариков разрядили, между шариками не будет действовать сила кулоновского отталкивания, и шарики соприкоснутся. При этом заряд заряженного шарика разделится пополам. Запишем закон Кулона для обоих случаев:
F1=kq²/d1²; F2=kq²/d2²;
Шарики находятся в равновесии, следовательно: T1sinα1-F1=0; T1cosα1-mg=0; T2sinα2-F2=0; T2cosα2-mg=0.
F1/mg=tgα1; F2/mg=tgα2. F1/F2=tgα1/tgα2
Т.к. углы α1 и α2 малы (длина нити L >> расстояния между шариками d), то sinα≈tgα. sinα1=d1/2L; sinα2=d2/2L.
F1/F2= d1/d2
4q²d2²/d1² q²=d1/d2; 4d2³/d1³=1. d2=d1/³√4≈3,1 см
Ответ: d2≈3,1см
Ответ: 3,1см
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Четверг, 08.12.2011, 18:45 | Сообщение # 10 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Задача 5. Олимпиада СамГУ 2007.
В сильном однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В находятся два длинных рельса, закрепленных параллельно на расстоянии b под углом α к горизонту. К верхним концам рельсов подключен конденсатор емкостью С. На рельсы кладут проводящую перемычку массой m, которая начинает скользить по ним из состояния покоя, оставаясь перпендикулярной рельсам. При этом ось перемычки горизонтальна. Пренебрегая трением, индуктивностью цепи, сопротивлением рельсов, перемычки и контактов, найти время, за которое перемычка переместится вдоль рельсов на расстояние L.
Решение
Будем считать систему отсчета, относительно которой рельсы и источник магнитного поля остаются неподвижными, инерциальной. Т.к. при движении перемычки в контуре, образованном рельсами, перемычкой и замыкающим рельсы конденсатором, изменяется поток магнитного поля, сцепленный с этим контуром, то в нем возникает ЭДС индукции. Следовательно, в этом контуре должен возникнуть индукционный ток, который будет заряжать конденсатор, протекая по перемычке. Поэтому на перемычку действует наряду с силой тяжести mg и реакции со стороны рельс N еще и сила Ампера FA.
ЭДС индукции по закону Фарадея равна εi = Ф'=ВbVхcosα. Тогда заряд конденсатора q=Cεi и ток в этот момент I=q'. Сила ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой располагаются B и ось проводника, вдоль которой по проводнику течет ток. По правилу Ленца направление индукционного тока таково, что порождаемое им магнитное поле стремится скомпенсировать действие причины, приведшей к возникновению этого тока. Т.е. FA направлена горизонтально и прижимает перемычку к рельсам, тормозя ее движение. FA=ВIb; I= -C Вbυх'cosα; V'х= aх
Проекция II закона Ньютона на ОХ: m aх= mg sinα - C В²b²aх cos²α;
Т.е. ускорение перемычки aх = mg sinα/(m+ C В²b²cos²α)
Т.к. Vх(0)=0, расстояние L = aхt²/2;
Следовательно, время движения перемычки t = √[2L(m+ C В²b²cos²α)/mg sinα]
Ответ: t = √[2L(m+ C В2b2 cos2α)/mg sinα]
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Вторник, 16.10.2012, 22:14 | Сообщение # 11 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| 10 класс 2012г
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Вторник, 16.10.2012, 22:15 | Сообщение # 12 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| 11 класс 2012
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Вторник, 16.10.2012, 22:16 | Сообщение # 13 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| 9 класс 2012
Прикрепления:
9_.doc
(82.0 Kb)
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Воскресенье, 27.10.2013, 23:01 | Сообщение # 14 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Решение задачи Физтеха.
Для отопления дома горячая водатемпературы Т1=353К подается в радиаторы
по трубе площадью поперечного сечения S1=60см2 со скоростью V1=6м/с. При ремонте старуютрубу заменили на новую с площадью поперечного сечения S2=55cм2. Какой должна быть скорость V2 движения водытемпературы T2=358К по новой трубе, чтобы температура T0= 298К в доме не изменилась?
Решение.
Горячая
вода приносит в дом тепло, а дом передает это тепло улице. Если уменьшить количество теплоты, подводимое
с горячей водой, температура в доме понизится. Предача тепла от горячего тела к
холодному описывается законом Ньютона – скорость передачи, (то есть в нашем
случае количество теплоты, получаемое домом от воды), пропорционально разности
температур горячего и холодного тел. То есть,
если вода в той же трубе будет горячей, количество теплоты, приносимое волой за
единицу времени будет больше. Но, конечно, важно сколько воды приходит в
единицу времени. Если вода супергорячая, но ее мало, то и теплоты мало. В итоге
таких простых рассуждений приходим к выводу, что должна быть такая формула для
количества теплоты, приносимого водой в единицу времени ∆Q/∆t=k(Tводы -Тпомещения)∆m/∆t (1)
Коэффициент k зависит от конструкции
радиаторов (батарей). Количество воды, протекающее через радиаторы в единицу
времени зависит от скорости воды в трубах и от площади сечения труб ∆m/∆t =ρVS (2)
Требование
неизменности потока тепла в помещение запишется в виде
k(Tводы -Тпомещения)ρV1S1 = k(Tводы -Тпомещения)ρV2S2; следовательно V2=V1 (T1-T0)S1/(T2-T0)S2=6м/с
|
| |
| |
| Tanchek | Дата: Воскресенье, 03.11.2013, 14:06 | Сообщение # 15 |
|
Подполковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 142
Статус: Offline
| Тексты и ответы Всероссийской олимпиады 2013, школьный этап: 11 класс, 10 класс
|
| |
| |
